Detaliile de demonstratie se gasesc intr-un articol superb scris de Eisenbud si Harris, ce poate fi descarcat de pe pagina lui D. Eisenbud de la MSRI (s.n. "Varieties of minimal degree"), deci am sa dau numai ideea geometrica de demonstratie. Pentru a evita eventualele probleme, am sa lucrez peste
\( \mathbb C \) si am sa notez morfismul de la
\( C \) la
\( {\mathbb P}^1 \) cu
\( \varphi \). Alegem
\( L \) un fibrat in drepte de grad suficient de mare. Atunci punctele din orice fibra
\( D \) sunt proiectiv independente, conditia de independenta traducandu-se prin
\( h^0(C,L(-D)) = h^0(C,L) - n \) (aici putem folosi faptul ca
\( L \) este de grad suficient de mare si Teorema Riemann-Roch). Deci orice fibra
\( $D$ \) genereaza un
\( (n-1) \)-plan proiectiv
\( P_D \). Consideram varietatea obtinuta din reuniunea
\( (n-1) \)-subspatiilor proiective
\( P_D \), unde
\( D \) variaza in sistemul liniar (poate necomplet) care determina morfismul pe
\( {\mathbb P}^1 \). Putem spune chiar mai mult: orice
\( {\mathbb P}^{n-1} \)-fibrat peste
\( {\mathbb P}^1 \) provine dintr-un fibrat vectorial, deoarece
\( H^2({\mathcal O}^*)=0 \). Un obiect obtinut ca aici se numeste
rational normal scroll (in romaneste nu suna prea bine: rulouri rationale normale
) si generalizeaza notiunea de suprafata geometric riglata rationala. Articolul despre care vorbeam mai sus poate fi citit in paralel cu capitolul de suprafete din Hartshorne. Cu un pic de atentie totusi, pentru ca ei folosesc definitia lui Grothendieck (ca si in Hartshorne), adica un punct din spatiul proiectiv este un cat de dimensiune
\( 1 \) al unui spatiu vectorial si nu un subspatiu de dimensiune
\( 1 \).