mateforum.ro

Hmmm gandindu-ma asa la diverse serii si fiind inspirat de acest topic, ma intreb oare daca seria \( \sum_{n \ge 1}\frac{\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}}{n^{2}} \) este convergenta?

Remarca

Daca luam in seama valabilitatea conjecturii lui Andrica, i.e. \( \sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}<1 \), atunci seria noastra ar fi majorata de seria \( \zeta(2)=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \), deci ar fi convergenta.

Pai sigur ca e convergenta ca doar ai pus problema domnului Panaitopol mai inainte care e mai tare decat asta (problema e la fel dar fara radicali).

Pai chiar in topicul tau de acolo, seria nu e la numitor cu \( n \), iar aici mai mult, cu \( n^2 \), deci evident e convergenta....