mateforum.ro

Fie \( A, B, S \in M_3(C) , S \) fiind o matrice nesingulară încât \( B = S^{-1}AS \). Să se arate că \( \tr(B^2)+2\tr(B^{*}) = (\tr(A))^2 . \)

Mihai Haivas

Fie \( b_i,a_i,s_i \) ,\( i=\overline{1,3} \) valorile proprii pt \( B ,A \) si \( S \).
\( \det(S)\neq0\Rightarrow s_i\neq0 \)
Din \( B=S^{-1}AS \) rezulta, trecand la valori proprii \( b_i=\frac{1}{s_i} a_i s_i\Rightarrow b_i=a_i \)
Avem \( \tr(B^2)=b_1^2+b_2^2+b_3^3 \)
\( \tr(B^*)=b_1b_2+b_2b_3 +b_3b_1 \)
Rezulta \( \tr(B^2)+2\tr(B^*)=(b_1+b_2+b_3)^2=(a_1+a_2+a_3)^2=\tr(A)^2 \)

\( \det(A-xI)= \det(S^{-1})\cdot \det(A-xI)\cdot \det(S)=\det(S^{-1}AS-xI)=\det(B-xI) \)
Deci matricele A,B au aceleasi valori proprii sa zicem a,b,c.
Dar tinand cont de faptul ca \( \tr(B^2)=\sum a^2,\ \tr(B*)=\sum ab \) iar \( \tr(A)=\left(\sum a \right)^2 \) concluzia e imediata.