mateforum.ro

Fie \( (x_{n})_{n \in N} \) un sir de numere reale cu proprietatea ca \( 0 \leq x_{n+1}-2x_{n} \leq \frac{1}{n},\forall n \in N \). Sa se arate ca exista \( a \in R \) astfel incat \( \lim_{n\to\infty}(2^{n}a-x_{n})=0 \).

Impartim relatia din ipoteza cu \( 2^{n+1} \) si obtinem \( 0\leq \frac{x_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{x_n}{2^{n}}\leq \frac{1}{n\cdot 2^n} \). Din aceasta relatie se poate observa ca sirul \( y_n=\frac{x_n}{2^n} \) este crescator si marginit. Deci exista \( \lim_{n\to \infty}y_n=a \in \mathbb{R} \).

Calculam \( \lim_{n\to \infty}(2^na-x_n)=\lim_{n\to \infty}\frac{a-\frac{x_n}{2^n}}{\frac{1}{2^n}} \). Intentionez sa folosesc Stolz-Cesaro.
Avem \( \lim_{n\to \infty}\frac{a-\frac{x_{n+1}}{2^{n+1}}-a+\frac{x_n}{2^n}}{\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^n}}=
\lim_{n \to \infty}x_{n+1}-2x_n=0 \), daca aplicam teroema clestelui cu sirurile date in relatia din ipoteza. Deci din Stolz-Cesaro avem ca si \( \lim_{n\to \infty}(2^na-x_n)=0 \), adica ceea ce trebuia demonstrat.