Page 1 of 1
JBTST I 2007, problema 1
Posted: Sun Apr 20, 2008 7:57 am
by Laurian Filip
Se considera numerele intregi a si b. Sa se arate ca exista si sunt unice numerele intregi x,y astfel incat
\( (x+2y-a)^{2}+(2x-y-b)^{2}\leq 1. \)
Posted: Fri Jun 13, 2008 8:49 pm
by Marius Mainea
Avem urmatoarele posibilitati: \( (x+2y-a)=\pm1, \ (2x-y-b)=0 \) sau invers, respectiv ambele egale cu 0.
Analizind fiecare caz in parte avem: \( 5x=a+2b\pm1,\ \ sau \ \ 5x=a+2b\pm2,\ \ sau \ \5x=a+2b \) iar \( 5y=2a-b\pm1\pm2,0 \).
Cand a, b sunt intregi unul si numai unul din cazurile de mai sus are loc pentru x, y intregi, deci inecuatia are solutie unica in Z.
Posted: Sat Apr 18, 2009 5:38 pm
by Aelius Pop
Consideram cercul cu centrul in (a;b) de raza 1. Oricum am calcula vom observa ca e imposibil sa avem puncte de forma (x+2y;2x-y) in interiorul cercului. q.e.d.