Page 1 of 1
Matrice cu elemente in Z (Putnam 1994)
Posted: Thu Apr 24, 2008 1:45 pm
by Centea Andrei
Fie \( A,\ B\in{M_2(Z)} \), doua matrice astfel incat \( A^{-1},\ (A+B)^{-1},\ (A+2B)^{-1},\ (A+3B)^{-1},\ (A+4B)^{-1} \) au toate elementele numere intregi. Demonstrati ca si \( (A+5B)^{-1} \) are toate elementele numere intregi.
Re: Matrice cu elemente in Z (Putnam 1994)
Posted: Wed Apr 22, 2009 5:03 pm
by Theodor Munteanu
\( \det {\rm A, \det(A + B), \det(A + 2B), \det(A + 3B), \det(A + 4B)} \in {\rm \{-1,+1\}.} \)
Fie \( f(x)=\det(A+xB) \). Exista cel putin 3 valori ale lui x pentru care f(x) e acelasi, dar f e de grad cel mult 2, deci f e constant, de unde rezulta imediat concluzia.