mateforum.ro

Fie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) o functie de doua ori derivabila pe \( \mathbb{R} \) pentru care exista \( c\in\mathbb{R} \) astfel incat \( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\neq f^{\prime}(c), \) oricare ar fi \( a, b\in\mathbb{R}, a\neq b \). Sa se arate ca \( f^{\prime\prime}(c)=0 \).

Bogdan Enescu

Considerand, daca e cazul, functia \( g=f(x)-f^\prime (c)x \) putem presupune ca \( f^\prime(c)=0 \).
Din enunt pentru \( a=c+s,b=a+t, s>0 \), si pentru orice t>0 rezulta \( \frac{f(c+t)-f(c)}{t}>f^\prime (c) \) (sau < dar se face analog; sau se schimba f cu -f).
Din asta rezulta cu \( t\to 0 \) ca \( f^\prime (c+s)\ge f^\prime(c)=0 \) pentru orice \( s>0 \).
In mod similar, obtinem:
I) \( f^\prime (c-s)\ge f^\prime(c)=0 \) pentru orice s>0
sau
II) \( f^\prime(c-s)\le f^\prime(c)=0 \)

In cazul I) rezulta ca \( f \) nu este injectiva - contradictie cu ipoteza.
In cazul II) rezulta \( c \) este punct de minim local pentru \( f' \), din Fermat rezulta \( f^{\prime\prime}(c)=0 \).

Sau mai direct eu am facut asa: La fel am considerat functia \( \varphi(x)=f(x)-xf^{\prime}(c) \) care este injectiva din ipoteza, iar din continuitate rezulta ca \( \varphi \) este strict monotona, deci prima derivata este ori pozitiva ori negativa, deci punctul \( c \) va fi ori de minim ori de maxim. Din Fermat concluzia rezulta imediat.