mateforum.ro

Fie \( a_1,a_2...,a_n \) si \( b_1,b_2...,b_n \) numere reale astfel incat \( a_i<b_i \), pentru orice \( i=1,...,n \) si \( b_1+b_2+...+b_n<1+a_1+a_2+...+a_n \). Aratati ca exista \( c \in \mathbb{R} \) cu proprietatea ca oricare ar fi \( i=1,...,n \) si \( k \in \mathbb{Z} \) \( (a_i+c+k)(b_i+c+k)>0 \).

Vasile Pop

concluzia de fapt se poate reformula astfel :
exista \( c \) real astfel incat niciunul din intervalele \( [a_i+c,b_i+c] \) nu contine numere intregi.
fie \( M>0 \) intreg astfel incat toata povestea se intampla in intervalul \( [-M,M] \) - adica \( M > \max(|a_i|,|b_i|)+1 \).
consider functia \( f : [-M,M]\rightarrow \{0,1\} \) definita astfel :
\(
f(x)=\begin{cases}
1, & \mbox{daca exista }i \mbox{ astfel incat } x \in [a_i,b_i] \\
0, & \mbox{in caz contrar}
\end{cases}
\)
presupun prin absurd ca concluzia nu ar fi adevarata. atunci, oricare ar fi \( x\in[0,1) \), cel putin unul din numerele \( f(x-M), f(x-M+1),\ldots, f(x+M-1) \) va fi egal cu 1 (*) - in caz contrar, intervalele \( [a_i-x,b_i-x] \) nu ar contine niciun intreg intre \( -(M-1) \) si \( M-1 \), si niciun intreg de modul cel putin \( M \) nu poate fi continut in unul din acele intervale (din alegerea lui \( M \)), deci \( c=-x \) contrazice presupunerea facuta.
ramane acum sa scriu (*) sub forma :
\(
\sum_{k=-M}^{M-1} f(x+k) \geq 1,
\)
si, deoarece \( f \) este integrabila, integrez relatia de mai sus de la \( 0 \) la \( 1 \) :
\(
1 \leq \int_0^1 \left(\sum_{k=-M}^{M-1} f(x+k)\right)\,dx=\sum_{k=-M}^{M-1} \int_k^{k+1} f(x)\,dx = \int_{-M}^M f(x)\,dx \leq \sum_{i=1}^n(b_i-a_i) < 1,
\)
contradictie.
deci presupunerea facuta e falsa, si gasesc un \( c \) cu proprietatea din enunt.

Am si eu o solutie pentru cei care nu stiu integrale...

Din relatia din enunt rezulta ca \( b_i-a_i<1,\forall i=1..n \). Astfel, imaginea lui \( [a_i,b_i] \) prin functia parte fractionara este un interval sau o reuniune de intervale cu suma lungimilor egala cu \( [a_i,b_i] \).

Consideram functia \( f:\bigcup_{i=1}^n[a_i,b_i]\to [0,1),\ f(x)=\{x\} \), unde \( \{x\} \) este partea fractionara a numarului real \( x \). Se observa ca deoarece \( \sum_{i=1}^n(b_i-a_i)<1 \) functia \( f \) nu e surjectiva si fie \( d \in [0,1)\setminus Im f \).

Atunci daca exista \( i \) cu \( (a_i-d+k)(b_i-d+k)<0 \) atunci \( k \in [a_i-d,b_i-d]\Rightarrow k+d \in [a_i,b_i]\Rightarrow f(k+d)=d\in Imf \). Contradictie cu alegerea facuta. Deci exista \( c=-d \) cu proprietatea ceruta (unde \( d \) este numarul ales mai sus).

...