mateforum.ro

Fie \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \) numere reale strict pozitive astfel incat suma lor este egala cu \( n \). Sa se arate ca functia \( f:[1, \infty)\to\mathbb{R} \), definita prin

\( f(x)=a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\ldots +a_{n}^{x} \)

este strict crescatoare.

Cezar Lupu, lista scurta ONM 2008

Poate ca mai trebuie o conditie, eventual, numerele sa fie distincte, pentru ca pentru toate 1 nu merge; functia e constanta si nu e strict crescatoare.

Totusi, putem demonstra ca \( f \) este crescatoare:
\( f \) e convexa, ca suma de functii convexe. Atunci putem aplica inegalitatea lui Jensen: \( f(x)\geq n(\frac{a_1+...+a_n}{n})^x=n\cdot 1^x=n=f(1) \). Datorita convexitatii, daca \( x \in [1,y]\Rightarrow f(x) \in [f(1)=n,f(y)] \), adica \( f \) este crescatoare.

Probabil ca daca numerele \( a_i \) nu ar fi toate egale, functia ar fi strict crescatoare.