mateforum.ro

Sa se arate ca pentru orice polinom \( P \), de grad \( n>1 \), si orice punct \( Q \) din plan, numarul de tangente la graficul lui \( P \) care trec prin \( Q \) este cel mult egal cu \( n \).

Internet Math Olympiad
Ariel University Center of Samaria

Fie \( p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_1x+a_0 \) si \( Q(m,n) \).
\( p \prime (x) =na_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_1 \),deci tangenta la grafic in punctul \( x_0 \) are ecuatia\( p(x)-p(x_0)=(x-x_0)p \prime(x_0) \).Rezulta ca numarul de tangente care trec prin Q este egal cu numarul de nr \( x_0 \) care verifica ecuatia \( b-p(x_0)=(a-x_0)p \prime(x_0) \).Daca ducem toti termenii in membrul stang, obtinem un polinom de grad n , deci exista cel mult n valori reale pentru \( x_0 \) care sa verifice relatia.