JBTST I 2008, Problema 1
Posted: Sat May 03, 2008 9:07 pm
Fie \( p \) un numar prim, \( p \neq 3 \), si \( a,b \) numere intregi astfel ca \( p|a+b \) si \( p^2|a^3+b^3 \). Sa se demonstreze ca \( p^2|a+b \) sau \( p^3|a^3+b^3 \).
Avem \( p^2|(a+b)(a^2-ab+b^2) \). Fiindca \( p|a+b \), avem \( p|\frac{a+b}{p}(a^2-ab+b^2). \) Fiindca \( p \) este prim, avem doua cazuri:
1) \( p|\frac{a+b}{p} \), deci \( p^2|a+b \);
2) \( p|a^2-ab+b^2 \) sau \( p|(a+b)^2-3ab \), de unde \( p|ab \). Fiindca \( p \) este prim \( p \) divide unul din numerele \( a,b \). Fie \( p|a \), dar \( p|a+b \), deci \( p|a,b \). Atunci \( p^3|a^3+b^3 \).