mateforum.ro

Exista functii din \( \mathbb R \) in \( \mathbb R \) care nu sunt continue in niciun punct dar care au proprietatea lui Darboux?
Daca da, dati un exemplu.

Nu stiu exact daca asta e raspunsul, dar cred ca functiile care se definesc in demonstratia teoremei lui Sierpinski, ca orice functie se scrie ca suma de 2 functii cu proprietatea lui Darboux (care cred ca este demonstrata prin cursurile de analiza de anul I, cel putin in al meu, de la Timisoara, este...) sunt cu proprietatea lui Darboux si discontinue peste tot. O sa ma uit mai atent, si o sa dau un raspuns exact...

Dragos Fratila wrote:Exista functii din \( \mathbb R \) in \( \mathbb R \) care nu sunt continue in niciun punct dar care au proprietatea lui Darboux?
Daca da, dati un exemplu.

Teorema (Lebesgue)

Exista cel putin o functie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) discontinua in orice punct real si care are proprietatea lui Darboux.

Exemplul lui Lebesgue: \( f:[0,1]\rightarrow R \) are P.D. si este discontinua in fiecare pct din [0,1].
Orice \( x\in [0,1] \) se scrie in baza 10 astfel: \( x=\overline{0,a_1a_2...a_n} \).
Definim \( f(x)=\overline{0,a_{2n}a_{2n+2}...} \) daca sirul \( a_1,a_3,a_5 \) este periodic de perioada 2n-1,
si \( f(x)=0 \) daca sirul precedent nu este periodic.

Aici e un exemplu interesant...