mateforum.ro

Suprafata unui triunghi se imparte arbitrar in n suprafete triunghiulare cu interioare disjuncte. Fie \( h_{1}, h_{2}, ..., h_{n} \) cele mai mici inaltimi ale triunghiurilor din partitie si h cea mai mica inaltime a triunghiului dat. Demonstrati ca \( h_{1}+h_{2}+...+h_{n}\ge h \).

Evident, din formula ariei, inaltimea cea mai mica intr-un triunghi este cea care cade pe latura cea mai mare. Presupunem ca AB este cea mai mare latura din triunghi.

Intr-un tringhi nu exista 2 puncte care sa formeze un segment mai lung decat cea mai mare latura a triunghiului. (Ducem un cerc de diametru AB)

Aria totala a triunghiului este egala si cu suma arilor celor n triunghiuri. Notand \( b_i \) latura pe care este perpendiculara \( h_i \) obtinem

\( \sum_{k=1}^n h_i \cdot b_i=h \cdot AB \).

Dar stim ca \( b_i \leq AB \).

Rezulta \( h \cdot AB \leq \sum_{k=1}^n AB \cdot h_i \)
adica \( \sum_{k=1}^n h_i \geq h \).