Fie
\( A=\{x \in \mathbb{R} : f^{(n)}(x)\neq 0\} \). Din ipoteza rezulta ca
\( f \) se anuleaza pe
\( A \). Presupunem ca
\( A \) e nevida si incercam sa ajungem la o contradictie, astfel dovedind concluzia.
Fie
\( x_0 \in A \). Atunci daca exista
\( \varepsilon > 0 \) astfel incat
\( (x_0-\varepsilon, x_0 +\varepsilon) \cap A =\{x_0\} \) atunci
\( f^{(n)} \) se anuleaza pe
\( (x_0-\varepsilon,x_0) \cup (x_0,x_0+\varepsilon) \) (1). Atunci, deoarece
\( f \) este dezvoltabila in serie Taylor in jurul lui
\( x_0 \), avem
\( f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}(x-x_0)^kf^{(k)}(x_0)+\frac{(x-x_0)^{n-1}}{n!}f^{(n)}(c) \), pentru un
\( c \) intre
\( x_0 \) si
\( x \) care este de fapt un polinom de gradul
\( n-1 \) pe vecinatatea
\( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \), pentru ca restul
\( \frac{(x-x_0)^{n-1}}{n!}f^{(n)}(c) \) se anuleaza din (1). Deci derivata de ordin
\( n \) in
\( x_0 \) este 0 ceea ce contrazice
\( x_0 \in A \). Deci nu putem gasi
\( \varepsilon \) cu proprietatea data. Astfel
\( A \) nu contine puncte izolate.
Daca
\( A \) ar contine un interval
\( [\alpha, \beta] \) atunci
\( f \) ar fi constanta 0 pe acest interval ceea ce ar aduce dupa sine si faptul ca derivata de ordin
\( n \) este nula pe interiorul acestui interval. Contradictie cu definitia lui
\( A \). Deci
\( A \) este total disconexa.
Definim pentru
\( a \in A,\ D_a=\{x \in A\ : \textrm{ nu exista }(\alpha,\beta) \subset [a,x]\cup [x,a]\} \). (notatia
\( [a,x]\cup [x,a] \) inseamna intre
\( x \) si
\( a \); multimile
\( D_a \) sunt un fel de componente aproape conexe ale lui
\( A \)). Din faptul ca
\( A \) nu are puncte izolate fiecare
\( D_a \) e nevida. Se observa din definitia acestor multimi ca ele determina o partitie pe
\( A \). Mai mult, fiecare componenta
\( D_a \) e total disconexa.
Atunci
\( \forall t_1<t_2 \in D_a \Rightarrow \exists t_3 \in D_a,\ t_3 \in (t_1,t_2) \). Deci
\( D_a \) e densa in
\( [\inf_{x \in D_a}x,\ \ \sup_{x \in D_a}x] \). Deoarece functia se anuleaza pe
\( D_a\subset A \) si este continua, din densitatea lui
\( D_a \) si din faptul ca
\( D_a \) e total disconexa rezulta ca
\( f \) se anuleaza pe
\( [\inf_{x \in D_a}x,\ \ \sup_{x \in D_a}x] \). Adica si derivata de ordinul
\( n \) se anuleaza pe interiorul acestui interval care contine si puncte din
\( D_a \subset A \). Contradictie. Deci
\( A=\emptyset \). GATA
