Examen Complemente de geometrie anul III, sem II
Posted: Wed May 14, 2008 7:05 am
TEORIE
1. Grupul abelian al vectorilor liberi. Definitia lui, definitia adunarii (fara a demonstra ca e bine definita) si verificarea axiomelor de grup abelian.
2. Teorema corpului - definitii, definitia adunarii si inmultirii (fara a dem. ca sunt bine definite), verificarea distributivitatii (lemele ajutatoare trebuiesc doar enuntate).
PROBLEME
3. Enuntati si demonstrati Teorema lui Desargue intr-un spatiu proiectiv (fiind spatiu e clar ca dimensiunea e mai mare sau egala cu 3).
4. Fie \( (A, V/K, \varphi) \) un spatiu afin, \( n>1 \), \( char(K)\neq n \) si \( S=\{P_1,\ldots, P_n\} \) un sistem de puncte in acest spatiu. Fie \( 1\le m<n \) si \( S_m \) o submultime a lui \( S \) cu \( m \) elemente. Notam \( S_{n-m}^\prime = S-S_m \).
Consideram \( G, G_m, G_{n-m}^{\prime} \) baricentrele cu ponderi egale ale sistemelor de puncte \( S, S_m \) respectiv \( S_{n-m}^{\prime} \).
Aratati ca \( G \) se afla intre \( G_m \) si \( G_{n-m}^{\prime} \).
Dati o interpretare geometrica rezultatului pentru \( n=3 \) si \( n=4 \).
-----------------------------------------------------
Remarca: cu toate ca problema 4 e lipsita de sens in forma in care e scrisa (asa a fost data la examen) asa a "rezolvat-o" mai toata lumea.
1. Grupul abelian al vectorilor liberi. Definitia lui, definitia adunarii (fara a demonstra ca e bine definita) si verificarea axiomelor de grup abelian.
2. Teorema corpului - definitii, definitia adunarii si inmultirii (fara a dem. ca sunt bine definite), verificarea distributivitatii (lemele ajutatoare trebuiesc doar enuntate).
PROBLEME
3. Enuntati si demonstrati Teorema lui Desargue intr-un spatiu proiectiv (fiind spatiu e clar ca dimensiunea e mai mare sau egala cu 3).
4. Fie \( (A, V/K, \varphi) \) un spatiu afin, \( n>1 \), \( char(K)\neq n \) si \( S=\{P_1,\ldots, P_n\} \) un sistem de puncte in acest spatiu. Fie \( 1\le m<n \) si \( S_m \) o submultime a lui \( S \) cu \( m \) elemente. Notam \( S_{n-m}^\prime = S-S_m \).
Consideram \( G, G_m, G_{n-m}^{\prime} \) baricentrele cu ponderi egale ale sistemelor de puncte \( S, S_m \) respectiv \( S_{n-m}^{\prime} \).
Aratati ca \( G \) se afla intre \( G_m \) si \( G_{n-m}^{\prime} \).
Dati o interpretare geometrica rezultatului pentru \( n=3 \) si \( n=4 \).
-----------------------------------------------------
Remarca: cu toate ca problema 4 e lipsita de sens in forma in care e scrisa (asa a fost data la examen) asa a "rezolvat-o" mai toata lumea.
:):):)