Page 1 of 1
9 numere consecutive
Posted: Wed May 14, 2008 9:46 pm
by Beniamin Bogosel
Demonstrati ca nu se poate imparti o mlultime de \( 9 \) numere naturale consecutive in doua submultimi disjuncte avand produsele elementelor egale.
Posted: Wed May 14, 2008 10:10 pm
by Sabin Salajan
Notand elementele cu \( a+1,a+2,...,a+9 \), avem intr-o parte cel putin 5 numere al caror produs pt \( a\geq 5 \) este \( \geq \)\( (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)\g \)\( (a+6)(a+7)(a+{8})(a+9) \), deci nu putem avea produsele egale.
Pentru \( a\leq4 \) se analizeaza cazurile.
Posted: Thu May 15, 2008 9:04 pm
by Filip Chindea
OK! Dar ca topic-ul sa ajunga la nivelul "Seniori", ce ziceti de aceeasi problema pentru \( 6 \) numere? (IMO '70). Desigur, chiar si aceasta se bazeaza pe o observatie simpla.
Posted: Thu May 15, 2008 9:15 pm
by Dragos Fratila
Ne uitam la numere modulo 7.
Atunci ele vor fi 0,1,2,3,4,5 sau 1,2,3,4,5,6
Primul caz e clar.
Pt al doilea: produsul tuturor face -1 modulo 7. Daca s-ar putea imparti in doua care sa aiba acelasi produs ar insemna ca ecuatia \( x^2=-1 \) ar avea solutie modulo 7 ceea ce e imposibil.
un articol
Posted: Tue May 27, 2008 2:53 pm
by spx2
Un articol aratand o solutie pentru aceeasi problema cu 6 in loc de 9 numere (cam aceeasi solutie ca cea de mai sus).