Page 1 of 1
Concursul 'Marian Tarina' 2008 pb 3
Posted: Mon May 19, 2008 1:31 pm
by Radu Titiu
Se considera functia \( f_n :\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f_n(x)=x^n+2008x-2001 \) pentru \( n\in \mathbb{N}^* \). Notam cu \( (a_n) \) sirul radacinilor pozitive ale ecuatiei \( f_n(x)=0 \). Studiati monotonia sirului \( (a_n) \).
Posted: Mon May 19, 2008 2:12 pm
by Beniamin Bogosel
Derivam si obtinem ca \( f_n \) sunt crescatoare pe \( [0,\infty) \).
Cum \( f_n(0)<0<f_n(1) \) pentru orice \( n \), rezulta ca exista o singura radacina a ecuatiei \( f_n(x)=0 \), si aceasta e \( a_n \in (0,1) \).
\( f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^{n+1}-x^n<0 \) pentru orice \( x \in (0,1) \).
Presupunem ca \( a_{n+1}<a_n \). Atunci \( f_n(a_{n+1})<f_n(a_n)=0 \) si \( f_{n+1}(a_{n+1})-f_n(a_{n+1})=-f_n(a_{n+1})<0 \). Contradictie!
Cazul de egalitate nu se poate.
Deci sirul este strict crescator.