Page 1 of 1
det(A^3+B^3)+det(A^3-B^3) este dublul unui cub
Posted: Tue May 20, 2008 10:09 pm
by Bogdan Posa
Fie A si B matrice de ordinul 3 cu elemente intregi si \( \det A=\det B=0 \). Aratati ca
\( \det(A^3+B^3)+\det(A^3-B^3) \) este dublul unui cub perfect.
Dan Nedeianu, Lista Scurta 2008
Posted: Fri Feb 20, 2009 1:54 am
by Marius Mainea
Folosim relatia :
\( \det(A+xB)=(\det B)x^3+\tr(AB^{\ast})x^2+\tr(A^{\ast}B)x+\det A \) pentru orice x complex si orice matrice A, B de ordinul 3.
Asadar \( \det(A^3+B^3)+\det(A^3-B^3) =2\tr[A^3(B^3)^{\ast}] \)
Insa \( \tr[A^3(B^3)^{\ast}]=\tr[A^3(B^{\ast})^3]=\tr[(AB^{\ast})^3]=[\tr(AB^{\ast})]^3 \) si de aici rezulta concluzia problemei.
Posted: Thu Feb 26, 2009 12:39 am
by lost
Cum ai obtinut \( \tr[A^3(B^{\ast})^3]=\tr[(AB^{\ast})^3] \) ?
Posted: Fri Mar 27, 2009 8:12 pm
by bae
Marius Mainea wrote:\( \tr[A^3(B^{\ast})^3]=\tr[(AB^{\ast})^3] \)
Nici o sansa ca acest rezultat sa fie corect!
Sa consideram (pe linii) A=[000][001][011] si B=[100][010][000].
Pentru problema: obtinem ca suma de determinanti din enunt pentru A si B face 6.