mateforum.ro

Fie \( a,b,c \geq 0 \) cu proprietatea ca \( a+b+c=1 \). Sa se arate ca:

\( \frac {1}{3} \leq \) \( \sum_{ciclic}{} {\frac {a}{a^2+a+1}} \) \( \leq \frac {9}{13} \).

ONM Shortlist 2008, Ion Nedelcu

Inegalitatea stanga rezulta din \( (x+2)(x-1)\leq 0,\ \forall x \in [0,1]\Leftrightarrow x^2+x+1\leq 3 \Leftrightarrow \frac{x}{x^2+x+1}\geq \frac{x}{3},\forall x \in [0,1] \).
Cum \( a,b,c\geq 0,\ a+b+c=1 \) rezulta ca \( \sum\frac{a}{a^2+a+1}\geq\sum\frac{a}{3}=\frac{1}{3} \).

Pentru cealalta inegalitate fie \( f:[0,1]\to \mathbb{R},\ f(x)=\frac{x}{x^2+x+1} \). Se demonstreaza ca \( f \) este concava. Ori cu definitia, ori \( f^{\prime \prime}\leq 0 \).

Din inegalitatea lui Jensen pentru \( a,b,c \) avem
\( f(a)+f(b)+f(c)\leq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(1/3)=\frac{9}{13} \), adica exact inegalitatea dorita.

Se observa ca extremele se ating pentru \( 0,0,1 \), respectiv \( 1/3,1/3,1/3 \).

Ar fi interesanta o demonstratie a concavitatii lui \( f \) fara derivate, ca problema a fost propusa la a 9-a.

Mai jos e si un grafic unde se poate observa prima inegalitate: \( f(x)\geq \frac{x}{3} \) si faptul ca \( f \) este concava.