mateforum.ro

Daca dreapta \( d \) este tagenta la elipsa \( \Gamma \) cu focarele \( F_1,F_2 \), in punctul \( P \), atunci daca \( n \) este o dreapta cu proprietatea ca \( P\in n \) si \( n\perp d \) atunci \( n \) este bisectoarea unghiului \( F_1PF_2 \).
(sau in alte cuvinte, \( d,n \) sunt bisectoarele unghiurilor formate in jurul lui \( P \) de dreptele \( F_1P,\ F_2P \))

Ar fi interesanta o demonstratie sintetica...

Am gasit pe net o demonstratie foarte frumoasa a acestui lucru; aceasta demonstratie nici macar nu necesita vreo ecuatie...

Consideram \( Q \) un punct arbitrar pe \( d \). Daca \( P \) nu este punctul unde se atinge minimul sumei \( QF_1+QF_2 \) atunci luam \( Q \) in acea pozitie unde se atinge minimul.

Se poate observa foarte usor ca daca \( QF_1+QF_2<PF_1+PF_2 \) atunci \( Q \) este in interiorul elipsei, ceea ce este o contradictie, pentru ca \( Q \) apartine lui \( d \) care este tangenta la elipsa.

Deci \( P \) este punctul de pe \( d \) pentru care se atinge minimul sumei \( P_1F+P_2F \), adica, conform unei probleme cunoscute, exact ceea ce dorim sa demonstram. (pentru a obtine minimul se traseaza simetricul unuia dintre puncte fata de dreapta si... )


Nu-i asa ca-i frumoasa geometria?