Ecuatie logaritmica
Posted: Fri May 23, 2008 4:29 pm
\( \log_{2006}(x-1)+\log_{2007}(x^2-1)+\log_{2008}(x^3-1)=2-\log_{10}(\frac{x^9-12}{5}) \)
1). Domeniul de definitie al ecuatiei este: \( D=(\sqrt[9]{12};+\infty) \).
2). Notand cu: \( f(x)=log_{2006}(x-1)+log_{2007}(x^2-1)+log_{2008}(x^3-1) \) si cu: \( g(x)=2-lg{\frac{x^9-12}{5}} \), ecuatia de rezolvat poate fi pusa sub forma: \( f(x)=g(x) \).
3). Cum \( f(x) \) este strict crescatoare si \( g(x) \) strict descrescatoare pe \( D \), ecuatia \( f(x)=g(x) \) are o solutie unica!
Se observa insa cu usurinta faptul ca \( x=2 \) este solutie a ecuatiei, intrucat avem: \( f(2)=g(2)=0 \).
Asa ca unica solutie este \( x=2 \).