mateforum.ro

Iata una din frumoasele probleme pe care le-am intalnit anul acesta !

In triunghiul \( A \) - dreptunghic \( ABC \) notam \( \left\|\begin{array}{c} H\in BC\ ,\ AH\perp BC \\
\\
N\in [AB]\ ,\ NA = NB \\
\\
M\in [AC]\ ,\ MA = MC\end{array}\right\| \)

si \( \left\|\begin{array}{c} E\in CN\cap AH \\
\\
D\in BM\cap AH\end{array}\right\| \). Sa se arate ca \( \widehat{ACD}\equiv\widehat{ABE}. \)

La acest ritm, m-as bucura daca va aparea cel putin o demonstratie in aceasta saptamana.

Va rog sa va uitati aici numai dupa ce veti incerca singuri (cel mult o ora) sa o rezolvati.

si in parlament!

In cele ce urmeaza voi folosi urmatorul rezultat binecunoscut:
Lema. Fie un triunghi \( ABC \) si \( M \) un punct apartinand medianei corespunzatoare laturii \( BC \). Daca \( \left\{ B^{\prime}\right\} =CM\cap AB,\ \left\{ C^{\prime}\right\} =BM\cap AC \) atunci \( B^{\prime}C^{\prime}\parallel BC \).


Dem. Fie \( \left\{ D^{\prime}\right\} =CD\cap AB,\ \left\{ E^{\prime}\right\} =BE\cap AC \). Tinand cont de lema rezulta imediat ca \( HD^{\prime}\parallel AC,\ HE^{\prime}\parallel AB \) de unde \( AE^{\prime}HD^{\prime} \) este dreptunghi. Daca \( \left\{ O\right\} =AH\cap D^{\prime}E^{\prime} \) cum \( OD^{\prime}=OH\Longrightarrow\widehat{OD^{\prime}H}=\widehat{OHD^{\prime}} \).
Insa \( \widehat{D^{\prime}HE^{\prime}}=\widehat{AHC}=90^{\circ}\Longrightarrow\widehat{OHD^{\prime}}+\widehat{OHE^{\prime}}=\widehat{OHE^{\prime}}+\widehat{E^{\prime}HC}\Longrightarrow\widehat{OHD^{\prime}}=\widehat{E^{\prime}HC}=\widehat{B} \) caci \( HE^{\prime}\parallel AB \).
Acum \( \widehat{BCE^{\prime}}+\widehat{BD^{\prime}E^{\prime}}=90^{\circ}+\widehat{OD^{\prime}H}+\widehat{C}=180^{\circ} \), deci \( BD^{\prime}E^{\prime}C \) este inscriptibil si \( \widehat{D^{\prime}BE^{\prime}}=\widehat{D^{\prime}CE^{\prime}} \), adica exact ceea ce trebuia sa aratam.

Vedeti aici sau in my (math)blog - mesajul 99, problema a treia.