mateforum.ro

Fie C o clasa birationala de dimensiune n si D o clasa birationala de dimensiune n-k, ambele de varietati algebrice peste un corp algebric inchis.

1. Pentru k=1, exista restrictii pentru existenta unui element X din C si a unui element Y din D astfel incat Y sa fie subvarietate a lui X?

2. Sa se arate ca in caracteristica 0, pentru k>1, nu exista asemenea restrictii.
Se schimba ceva in caracteristica pozitiva?

Pentru \( k\ge 2 \) iese destul de uşor indiferent de caracteristică:

Se ştie că o varietate \( n-k \) e biraţional echivalentă cu o hipersuprafaţa a spaţiului proiectiv \( \mathbb{P}^{n-k+1} \) (se găseşte de exemplu în Hartshorne, Capitolul I, Propoziţia 4.9). Se termină dacă putem scufunda spaţiul ăsta proiectiv în ceva din clasa C, şi asta se face simplu: aleg o varietate arbitrară din C, şi fac blow-up-ul unui punct nesingular. Fibra de deasupra punctului respectiv o să fie spaţiul proiectiv \( \mathbb{P}^{n-1} \), care conţine \( \mathbb{P}^{n-k+1} \) pentru că avem \( k\ge 2 \).