mateforum.ro

Fie \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) o matrice pentru care exista un \( p\geq 3 \) astfel incat \( A^p=A \). Daca \( x_1,...,x_k \) sunt valorile proprii distincte ale lui \( A \) demonstrati ca \( \sum_{i=1}^krang(A-x_iI)=n(k-1) \).

Ştiam o teoremă cum că o matrice e diagonalizabilă dacă polinomul minimal are toate rădăcinile (complexe) distincte, caz în care ne aflăm.
Deoarece \( A \) - diagonalizabilă \( \Rightarrow \exists P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) astfel încât \( J_A=P^{-1}AP \) să aibă doar valorile proprii pe diagonală şi în rest 0.
Pentru o valoare proprie \( x_i \), \( A-x_i I=PJ_A P^{-1}-Px_i I P^{-1}=P(J_A-x_i I)P^{-1} \). Fie \( m_i \) multiplicitatea valorii proprii \( x_i \). Este evident că matricea din mijloc are exact \( m_i \) valori de \( 0 \), restul fiind nenule, deci \( rang(A-x_i I)=n-m_i \)\( \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^k rang(A-x_i I)=\sum\limits_{i=1}^k(n-m_i)=k\cdot n -\sum\limits_{i=1}^k m_i=k\cdot n - n=n(k-1) \).