mateforum.ro

Sa se arate ca \( \sum cos(\pm x_1\pm x_2\pm...x_n)\leq 2^n(\cos\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})^n \), unde \( n\in N \), \( n\geq 2 \), iar \( x_1,x_2,...,x_n\in(0,\frac{\pi}{2}) \), suma efectuandu-se dupa toate cele \( 2^n \) alegeri ale semnelor + si -.

Ion Savu si Nicolae Musuroia

Trebuie sa demonstram prin inductie identitatea:

\( \sum{\cos{(\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm x_n)}} = 2^n cos(x_1)\dots cos(x_n) \) (*)

Acum avem:

- Aplicand \( GM \leq AM \)

\( \sum{\cos{(\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm x_n)}}=2^n cos(x_1)\dots cos(x_n) \leq 2^n \left( \frac{\cos{(x_1)} + \cos{(x_2)} + \dots + \cos{(x_n)} }{n} \right)^n \).

- Acum din Jensen

\( 2^n \left( \frac{\cos{(x_1)} + \cos{(x_2)} + \dots + \cos{(x_n)} }{n} \right)^n \leq 2^n \left( \cos{\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right)} \right)^n \leq 2^n \left( \cos\sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n} \right)^n \).

Si problema este demonstrata .

Mai nasol e cu demonstratia relatiei (*) .
Cateva cuvinte despre aceasta ...

Pentru \( n = 1 \) avem \( \cos{(x_1)} + \cos{(-x_1)} = 2 \cos{x_1} \), relatie adevarata.
Presupunem ca identitatea este adevarata pentru un \( n \) oarecare:
adica \( \sum{\cos{(\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm x_n)}} = 2^n cos(x_1)\dots cos(x_n) \).

- Pasul inductiv :
\( \sum{\cos{(\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm x_{n + 1})}} = \sum{\cos{(\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm (x_n + x_{n + 1}))}} +\sum{\cos{(\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm (x_n - x_{n + 1}))}} \)
\( = 2^n \cos{(x_1)} \cos{(x_2)} \dots \cos{(x_n+x_{n+1})} + 2^n \cos{(x_1)} \cos{(x_2)} \dots \cos{(x_n - x_{n+1})}= 2^{n+1} \cos{(x_1)} \dots \cos{(x_{n+1})} \).
Acum inductia este completa.