mateforum.ro

Daca \( H \subset S_n, H \neq \emptyset \) are proprietatea: \( \forall \sigma, \tau \in H \Rightarrow \sigma\tau \in H \), sa se arate ca:
\( \forall \sigma \in H \Rightarrow \sigma^{-1} \in H \).

Demonstratie pentru clasa a XII-a:

''Daca G este grup si H parte stabila finita a lui G, atunci H este subgrup al lui G.''

Demonstratie pentru clasa a XI-a:

Definim \( f:H \rightarrow H \) prin \( f(\tau)=\tau\sigma_0 \), unde \( \sigma_0 \) este o permutare oarecare a lui H.

Aceasta functie este injectiva si cum H este finita rezulta ca este surjectiva.

Asadar exista \( \tau\in H \) astfel incat \( \tau\sigma_0=\sigma_0 \) de unde \( \tau=e \) iar apoi exista \( \tau\in H \) astfel incat \( \tau\sigma_0=e \), de unde \( \tau=\sigma_0^{-1}\in H \) pentru orice \( \sigma_0\in H \).