mateforum.ro

Determinati toate functiile \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) cu proprietatea ca pentru orice \( a<b \in \mathbb{R} \), multimea \( f([a,b]) \) este un interval de lungime \( b-a \).

Solutie.

Fie \( f \) o functie cu proprietatea de mai sus. Atunci mi se pare destul de clar ca ea satisaface inegalitatea \( |f(x)-f(y)|\leq |x-y|, \forall x, y\in\mathbb{R} \), deci \( f \) este continua. Fiind date \( x, y, x<y \), vom lua \( a, b\in [x, y] \) astfel incat \( f(a)=\sup f \) si \( f(b)=\inf f \) pe intervalul \( [x, y] \). Prin urmare imeginea lui \( f \) prin intervalul \( [x, y] \) este intervalul \( [\inf, \sup ] \), deci vom avea ca \( \{x, y\}=\{a, b\} \), de unde \( f \) este monotona, deci o sa avem ca \( f(x)-x=f(y)-y \). Gasim astfel functiile liniare de tipul \( f(x)=x+c \) (\( f \) este crescatoare) si \( f(x)=-x+c \) (\( f \) este descrescatoare). \( \qed \)