mateforum.ro

Aratati ca numarul:

\( N \ = \ 7 \ + \ 7^{^{2}} \ + \ 7^{^{3}} \ + \ 7^{^{4}} \ + \ ... \ + \ 7^{^{630}} \) este divizibil cu \( 19 \). Este divizibil cu \( 2 \)?

\( N = \frac {7(7^{630} -1)}{6} \)

cum \( 7^3 \equiv 1 (mod 19) \) \( \Rightarrow 7^{630}-1 \equiv 0 (mod 19) \) \( \Rightarrow 19 | N \)
la fel : \( 7^2 \equiv 1 (mod 4) \) \( \Rightarrow 7^{630} -1 \equiv 0 (mod 4) \) \( \Rightarrow 2 | N \).