Existenta lui
\( p_1,p_2 \) se reduce la existenta lui
\( g_1,g_2 \) astfel ca
\( p_1(x)=x(1+(1-x)g_1(x)) \),
\( p_2(x)=x(1+(1-x)g_2(x)) \),
\( \int_0^1 (g_2(x)-g_1(x))dx<\eps \) si
\( g_1(x)\leq -\frac{1}{1-x} \) pentru
\( x\in[0,\frac{1}{2}) \) \( g_1(x)\leq \frac{1}{x} \) pentru
\( x\in [\frac{1}{2},1] \). Analog pt.
\( g_2 \) dar cu semn schimbat.
Voi incerca sa gasesc
\( g_1 \) ca fiind un polinom ce se "muleaza" bine pe o functie continua (din Stone-Weirstrass), functia continua fiind obtinuta din functia
\( f(x)=-\frac{1}{1-x} \) pentru
\( x\in[0,\frac{1}{2}) \) si
\( \frac{1}{x} \) pentru
\( x\in [\frac{1}{2},1] \) prin 2 artificii:
1) "Coborarea" ei cu o cantitate foarte mica,
\( \eps \), pentru ca dupa ce o aproximam uniform cu
\( g_2 \), sa avem garantia ca acesta ramane sub f
2) In
\( \frac{1}{2} \) f e discontinua. O vom aproxima in zona aceea cu o functia liniara, foarte abrupta (mai exact, vom lipi continuu partea de jos cu cea de sus, printr-o linie, pe intervalul
\( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \)
Graficul este cel din poza:
Desi nu prea are relevanta forma analitica a lui
\( F_{\eps} \), o voi da:
\( F_\eps(x)=-\frac{1}{1-x}-\eps \) pe
\( [0,\frac{1}{2}] \),
\( \frac{2x-1}{\eps}+\frac{2x-1}{\eps(1+2\eps)}-2-\eps \) pe
\( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \) si
\( \frac{1}{x}-\eps \) pe ce a ramas.
\( F_\eps \) are urmatoarele proprietati:
1) continua
2)
\(
f > F_\eps \)
2)
\( f(x)-F_\eps(x)=\eps \) pe
\( [0,\frac{1}{2})\cap [\frac{1}{2}+\eps,1] \)
3)
\( f(x)-F_\eps(x) \) e descrescatoare pe
\( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \) deci diferenta pe acest interval nu depaseste 2-(-2) = 4
Din Stone-Weirstrass, exista un
\( g_1 \) astfel ca
\( ||g_1-F_{\eps}||<\eps \)
Deci
\( g_1(x)<F_{\eps}(x)+\eps<f(x) \), ceea ce ne asigura ca
\( p_1 \) e sub acea functie caracteristica.
Printr-un procedeu analog, obtinem
\( g_2 \), doar ca f trebuie urata.
Mai ramane de aratat ca
\( \int_0^1 g_2(x)-g_1(x)dx \) e mai mica decat ceva ce tinde la 0 cand espilon tinde la 0 (OBS:
\( \eps \) cu care am coborat si am aproximat uniform, nu e neaparat cel din ipoteza. Nu are relevanta.)
\( \int_0^1 g_2(x)-g_1(x)dx=\int_0^1 f(x)-g_1(x)dx + \int_0^1 g_2(x)-f(x)dx \)
Aratam ca
\( \int_0^1 f(x)-g_1(x)dx \) tinde la 0 odata cu
\( \eps \), cealalta fiind analog.
\( \int_0^1 f(x)-g_1(x)dx=\int_0^1 f(x)-F_{\eps}(x)dx+\int_0^1 F_{\eps}(x) -g_1(x)dx \)
Prima integrala se scrie ca suma a 3 integrale: pe
\( [0,\frac{1}{2}] \),
\( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \),
\( [\frac{1}{2}+\eps, 1] \)
Prima + ultima este
\( \eps(1-\eps) \) (deoarece functia de integrat e constant
\( \eps \) pe aceste intervale).
Cea din mijloc este mai mica decat
\( 4\eps \), datorita marginirii functiei cu 4.
Integrala
\( \int_0^1 F_{\eps}(x) -g_1(x)dx \) e mai mica decat
\( \eps \) datorita constructiei lui
\( g_1 \)
Deci
\( \int_0^1 f(x)-g_1(x)dx < \eps(1-\eps)+4\eps+\eps \)
De aici, conlcuzia e imediata.