mateforum.ro

Fie \( f\in\mathbb{C}[X] \) , \( f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+.....+a_1X+a_0 \). Daca \( |f(z)|\leq1, (\forall) z\in\mathbb{C} \) cu \( |z|\leq 1 \), atunci \( f=X^n \)

Voi folosi o lema: Daca \( z \in \mathbb{C} \) si \( |z-1|\leq 1,\ |z+1|\leq 1 \) atunci \( z=0 \). Demonstratia lemei este oarecum evidenta. Singurul punct care apartine cercului unitate translatat si la dreapta si la stanga cu 1 este 0.

Acum iau toate radacinile unitatii de ordinul \( n \) : \( \varepsilon_i,\ i=1..n \). Este cunoscut faptul ca \( \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^k=\left{n, k=0,n \\ 0,\ k=1..n-1\right. \).
Acum folosesc faptul ca \( |f(\varepsilon_i)|\leq 1,\ i=1..n \) adun aceste inegalitati si aplic inegalitatea modulului. De aici rezulta ca \( |n+na_0|\leq n \Rightarrow |1+a_0|\leq 1 \).
Facem un lucru asemanator cu radacinile de ordinul \( n \) ale lui -1 (care verifica cam aceleasi proprietati numai ca suma puterilor \( n \) este \( -n \)...) si obtinem \( |1-a_0|\leq 1 \). Din lema rezulta ca \( a_0=0 \).
Acum folosim radacinile de ordinul \( n-1 \) ale lui 1 si -1 pentru a demonstra ca \( a_1=0 \) prin acelasi procedeu. Aplicam acelasi lucru (folosind radacinile de ordinul \( k \) ale lui 1 si -1 pentru a demonstra ca \( a_{n-k}=0 \)...) pana demonstram ca si \( a_{n-1}=0 \)(folosinde radacinile de ordinul 1 ale lui 1 si -1) si astfel \( f=X^n \).


Obs: Din demonstratia asta, se observa ca e suficient ca \( |f(z)|\leq 1,\ \forall z \in \mathbb{C} \) cu \( |z|=1 \) sau polinomul dat are modului cel mult 1 pentru orice radacina a unitatii.