mateforum.ro

Daca \( f:[0,\infty) \to \mathbb{R} \) este o functie continua si surjectiva, atunci ecuatia \( f(x)=a \) are o infinitate de solutii in \( [0,\infty) \) pentru orice \( a \in \mathbb{R} \).

Concursul "Laurentiu Duican", 1994, Brasov

Fie \( x_0 \) astfel încât \( f(x)\neq a \), \( \forall x>x_0 \). Cum \( f \) este continuă, avem că fie \( f(x)>a \), fie \( f(x)<a \), \( \forall x>x_0 \).
Dar \( f \) fiind continuă pe intervalul compact \( [0;x_0] \), din teorema lui Wierstrass rezultă că e mărginită şi îşi atinge marginile, deci \( m\leq f(x)\leq M \). Dacă \( f(x)>a \), pentru \( x>x_0 \), atunci \( f \) nu va lua niciunde valori mai mici decât \( m \), deci \( f \) nu este surjectivă - absurd. La fel şi pentru \( f(x)<a \), \( x>x_0 \).