Page 1 of 1
IMC 2008 ziua 2 problema 4
Posted: Wed Jul 30, 2008 1:50 pm
by Beniamin Bogosel
Fie \( f,g \in \mathbb{Z}[X] \) neconstante astfel incat \( g | f \) in \( \mathbb{Z}[X] \). Demonstrati ca daca polinomul \( f-2008 \) are cel putin 81 de radacini intregi, atunci gradul lui \( g \) este mai mare decat 5.
IMC 2008
Posted: Mon Sep 15, 2008 3:31 pm
by Beniamin Bogosel
Scriem \( f=gh \) cu \( h \in \mathbb{Z}[X] \) si astfel exista \( x_1,...,x_{81} \) astfel incat \( g(x_i)|2008,\ i=1,..,81 \). Cum 2008 are 16 divizori intregi, exista sase dintre \( x_i \) astfel incat \( g \) ia aceeasi valoare pentru fiecare dintre ei. Daca \( g \) nu ar avea gradul mai mare decat 5, ar fi constant. Contradictie.