mateforum.ro

Fie \( (X,\mathcal{T}) \) un spatiu topologic unde \( \mathcal{T} \) este topologia discreta. Demonstrati ca daca \( X \) este homeomorf cu un subspatiu al lui \( \mathbb{R} \) cu topologia obisnuita, atunci \( X \) este cel mult numarabila.

Fie \( Y\subset\mathbb{R} \) astfel incat topologia indusa il face discret.
\( Y\cap [-n,n] \) trebuie sa fie finit caci altfel ar exista un sir convergent la un \( a\in [-n,n] \), adica orice vecinatate a lui \( a \) contine o infinitate de termeni din Y, ceea ce este o contradictie cu faptul ca Y este discret.