mateforum.ro

Demonstrati ca pentru orice numere \( a,b,c \in (0, \infty) \) are loc inegalitatea

\( \left(1+\frac{ab}{c} \right ) \left(1+\frac{bc}{a} \right) \left(1+\frac{ca}{b} \right ) \geq (1+a)(1+b)(1+c) \).

Dorin Marghidanu, Revista Minus 1/2008

Desfacand parantezele si reducand termenii asemenea obtinem ca inegalitatea este echivalenta cu
\( \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+a^2+b^2+c^2\geq a+b+c+ab+ac+bc(*) \).
Avem inegalitatea \( a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc(1) \).
Vom demonstra inegalitatea \( \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c(2) \).
Deoarece inegalitatea este simetrica in a, b, c putem preupune ca \( a\geq b\geq c \) si astfel avem ca sirurile \( ab, ac, bc \) si \( \frac{1}{c}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a} \) sunt la fel ordonate si din inegalitatea aranjamentelor avem ca \( \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq \frac{ab}{a}+\frac{bc}{b}+\frac{ca}{c}=a+b+c \) si astfel am demonstrat si inegalitatea (2).
Prin insumarea inegalitatilor (1) si (2) obtinem (*) si astfel inegailtatea din enunt este demonstrata.

Frumoasa solutia, Omer. Uite si solutia mea:
Este binecunoscuta inegalitatea Cauchy pentru doua numere: \( (a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2 \).
In cazul nostru, \( (1+\frac{ab}{c})(1+\frac{bc}{a})\geq \left(1+\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot {\frac{bc}{a}}}\right)^2=(1+b)^2 \).
Prin inmultirea inegalitatilor analoage rezulta cerinta problemei.

Mai eleganta decat a mea