mateforum.ro

Demonstrati ca nu exista poliedre convexe pentru care fiecare fata poligonala are cel putin 6 laturi.

Dar hexaedrul?

Hexaedrul este un poliedru cu 6 fete. Nu un poliedru in care oricare fata are proprietatea ceruta....

DA, scuze am folosit termenul hexaedru gresit.
Uite de exemplu am jucat un joc in care trebuia sa construiesti tot felul de chestii si punand hexagoane regulate latura in latura se inchide poliedrul. De exemplu o minge de fotbal (altceva nu mi-a venit in minte).

Cu hexagoane regulate nu se poate face nimic pentru ca suma unghiurilor dintr-un varf ajunge la 360 de grade, ceea ce e imposibil pentru un poliedru convex! Fii sigur ca nu e gresita problema, pentru ca e din sursa sigura. Incearca s-o rezolvi

(.. la mingea de fotbal sunt si pentagoane si hexagoane, si oricum, nu sunt de forma plana...)

Într-un poligon convex, în fiecare vârf se întâlnesc cel puţin 3 muchii, şi fiecare muchie are 2 vârfuri, de unde obţinem că \( M\geq \frac{3}{2}V \).
Din identitatea lui Euler, \( F+V=M+2 \Rightarrow F+V \geq \frac{3}{2}V+2 \).
\( \Rightarrow V\leq 2(F-2) \).
Dacă fiecare faţă ar avea cel puţin 6 laturi, atunci contribuţia adusă de ea la suma unghiurilor ce se întâlnesc în vârfuri ar fi de cel puţin \( 720^o \), adică suma totală ar fi cel puţin \( 720F \). Dar pentru existenţă, fiecare vârf ar trebui să aibă suma unghiurilor mai mică decât \( 360^o \), adică suma măsurilor unghiurilor să fie cel mult \( 2(F-2)\cdot 360=720(F-2)<720F \).