mateforum.ro

Sa se gaseasca toate functiile neconstante \( f: \rm{GL}(2,\mathbb{R})\rightarrow R \) care satisfac proprietatea \( f(A)=f(B) \Rightarrow f(UAV)=f(UBV) \) pentru orice \( U,V\in \rm{GL}(2,\mathbb{R}). \)

Observatie. Conditia e mai slaba decit "\( f \) morfism". E clar ca orice functie de forma \( g\circ \det \), cu \( g \) injectiva e buna; intrebarea este daca exista solutii (de preferat diferentiabile) care nu factorizeaza prin \( \det \). Problema nu-mi apartine, mi-a dat-o un prieten caruia ii e lene sa scrie singur...
L.O.

Cred ca toate factorizeaza prin det. Demonstratia nu e a mea, ci a unui prieten (Michael Groechenig) caruia i-am zis problema:

Lucram pe \( G:=GL(n)^+ \)(det-ul pozitiv) momentan.

1. Consideram \( H = f^{-1}(f(I_n)) \). Avem o actiune tranzitiva a lui \( G\times G \) pe fibrele lui \( f \) (i.e. \( G\times G \) permuta tranzitiv fibrele lui \( f \)). Intr-un punct diferentiala lui \( f \) trebuie sa fie surjectiva si deci fibra deasupra acelui punct are codimensiune 1. Din tranzitivitatea actiunii rezulta ca toate fibrele au codimensiune 1. Asadar \( H \) este un subgrup Lie (din T. Cartan) al lui \( G \) de codimensiune 1.

2. H este normal. Intr-adevar, fie A in H si B in G. Atunci \( f(BAB^{-1}) = f(BI_nB^{-1})=f(I_n) \).

3. Algebra Lie a lui H este de codimensiune 1 in \( Lie(G)=gl(n) \) si este si ideal pentru ca H este normal. Asadar \( Lie(H)=sl(n) \) si prin urmare \( H=SL(n) \).

4. Fie A si B cu det(A)=det(B)=c. Atunci \( f(Ac^{-1})=f(Bc^{-1}) \) si din conditia din enunt inmultind la stanga cu \( U=cI_n \) rezulta ca \( f(A)=f(B) \).

5. Fie acum \( A \in GL(n) \) si \( c=\det(A) \). Avem ca \( f(Ac^{-1})=f(I_n) \) de unde rezulta ca \( f(A) = f(cI_n) \), i.e. \( f(A)=g(\det(A)) \) pentru orice \( A \in GL(n) \), unde \( g \) este o functie \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \).