Linie franta inchisa in spatiu

[abc]

Este posibil sa construim in spatiu o linie franta inchisa, alcatuita din 2010 segmente, astfel incat lungimile segmentelor din care este alcatuita sa fie, in ordine, 1,2,3,...,2010, iar orice trei segmente consecutive sa fie perpendiculare doua cate doua?

Problema a fost propusa la Concursul de evaluare in educatie, etapa de azi.

[Laurian Filip]

presupunem ca putem. descompunem figura intrun plan XOY ales convenabil.

Fiindca e inchisa suma lungimilor segmentelor paralele cu OX e para, si de asemenea suma lungimilor segm paralele cu OY e tot para. Deci suma totala a lungimilor e para. Dar 1+2+..+2010 e impar. => contradictie.

[Marcelina Popa]

E foarte buna ideea, insa nu cu un plan XOY, ci cu un reper ortogonal tridimensional Oxyz ( e vorba de o linie poligonala in spatiu !).

In prealabil trebuie demonstrat ca directiile segmentelor se repeta din trei in trei, rezultand, pana la urma, numai 3 directii. Acestea sunt si perpendiculare doua cate doua, asa ca putem alege reperul ortogonal cu axele Ox, Oy si Oz orientate exact pe cele trei directii.

Segmentele de lungime 1, 4, 7, ..., 2008 se proiecteaza pe axa Ox, cele de lungime 2, 5, 8, ..., 2009 pe Oy si cele de lungime 3, 6, 9, ..., 2010 pe Oz.

Pe O il putem alege acolo unde incepe primul segment => suma proiectiilor algebrice ale segmentelor noastre pe fiecare axa trebuie sa fie 0, de unde rezulta ca suma lungimilor acestor segmente trebuie sa fie para.

Mai departe facem exact cum ai spus tu.

[Laurian Filip]

aveti dreptate. nam citit prea atent