mateforum.ro

Fie E= ||||a-b|-c|-d|-e|. Gasiti valoarea maxima a expresiei E, cand {a, b, c, d, e} = {1, 2, 3, 4, 5}.

Notam x=|||a-b|-c|-d| => \( x\ge0 \)
Avem doua cazuri:
I). Luam e=5 (maxim) si x=0 (minim) => |x-e|=5.
x poate fi 0 daca luam, de exemplu, a=2, b=1, c=4 si d=3.
Deci ||||2-1|-4|-3|-5|=5 ar fi valoarea maxima.

II). Luam e minim, e=1, si x maxim. Pentru x procedam la fel ca pentru |x-e| si obtinem ca valoarea sa maxima este 4 => valoarea maxima a lui |x-e| ar fi 3.

Din I) si II) => valoarea maxima este 5.

Cred ca e mai simpla rezolvarea :

Oricare a , b apartinand {1,2,3,4,5} cu a diferit de b
atunci rezulta |a-b| apartine {1,2,3,4}

Oricare |a-b| apartinand {1,2,3,4} si c apartinand {1,2,3,4,5}
atunci rezulta ||a-b|-c| apartine {0,1,2,3,4}

Oricare ||a-b|-c| apartinand {0,1,2,3,4} si d apartinand {1,2,3,4,5}
atunci rezulta |||a-b|-c|-d| apartine {0,1,2,3,4,5}

Oricare |||a-b|-c|-d| apartinand {0,1,2,3,4,5} si e apartinand {1,2,3,4,5}
atunci rezulta ||||a-b|-c|-d|-e| apartine {0,1,2,3,4,5}

Rezulta max E=5

Exemplu a=1 ; b=2 ; c=4 ; d=3 ; e=5

Ideea este, in fond, urmatoarea: pentru orice \( x,y\in [\alpha,\beta],\ |x-y|\in[0,\beta-\alpha] \).

In problema se aplica in mod repetat operatia \( x*y=|x-y| \) unor elemente din \( [0,5] \). Avem de fapt
\(
E=((((a*b)*c)*d)*e)\in[0,5] \)

Pentru a fi siguri ca maximul lui \( E \) este \( 5 \), trebuie aratat si ca este posibila egalitatea \( E=5 \) (printr-un exemplu concret, asa cum ati facut voi).