mateforum.ro

Fie \( n \) un numar natural nenul. Sa se determine polinoamele \( f \) de grad n cu coeficienti complecsi pentru care \( f(X^{2}+X+1) \) divide \( f(X^{3}-1) \).

Scoala cu Ceas, 2007

Cred ca \( f(X)=a_{n}X^{n} \). Poate cineva sa posteze o solutie completa?

Sa consideram un polinom g cu coeficienti complecsi a.i. \( f(X^3-1)=f(X^2+X+1)g(X) \) si fie y radacina cu modulul maxim al lui f. De asemenea, notam cu \( x_1,x_2,t_1,t_2 \) solutiile ecuatiei \( x^2+x+1=y \), respectiv \( t_i=x_i^3-1 \).
Cum \( f(t_i)=f(y)g(x_i) \) avem \( |t_i|\leq |y| \). Dar \( t_i=x_i \cdot y \) si \( t_1 +t_2=(x_1+x_2-2)y=-3y \), deci avem (folosind ineg. triunghiului) \( 3|y|\leq 2|y| \) deci toate radacinile lui f sunt nule si de aici concluzia.