mateforum.ro

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx \). Sa se arate ca exista \( c\in (0,1) \) astfel incat \( \int_0^c xf(x)dx=0 \).

Se aplica teorema lui Flett:

,,Fie \( f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) o functie derivabila si f'(a)=f'(b). Atunci exista un \( \theta\in (a,b) \) astfel incat \( \frac{f(\theta)-f(a)}{\theta-a}=f^{\prime}(\theta). \)''

Revenim la problema :

Din conditia problemei se deduce ca \( \int_0^1(\int_0^xf(t)dt)dx=0 \) si atunci din teorema de medie exista \( d\in(0,1) \) astfel incat \( \int_0^df(x)dx=0 \)

Apoi aplicam teorema lui Flett pentru \( g(x)=\int_0^x(\int_0^yf(t)dt)dy \) pe intervalul [0,d] si obtinem un punct \( c\in[0,d] \) astfel incat \( \int_0^c(\int_0^yf(t)dt)dy=c\int_0^cf(t)dt \) de unde printr-o integrare prin parti in prima integrala obtinem concluzia problemei.

Aplicand teorema Rolle functiei \( U(x)=\frac{G(x)}{x}-F(x);\ G(x)=\int_0^x tf(t)dt,\ F(x)=\int_0^x f(t)dt \) pt. x nenul in (0,1] si \( U(0)=0 \), care indeplineste conditiile teoremei Rolle, ne rezulta un punct cu proprietatea ceruta.

Exista si o demonstratie a teoremei lui Flett? Nu de alta, dar daca o folosesc la olimpiada, cum nu e prevazuta in programa, nu ar strica sa si arat cand prind o problema ce se poate face cu ea.
Apropo, cum ati dedus \( \int_0^1(\int_0^xf(t)dt)dx=0 \)?

Da, exista cel putin doua demonstratii din cate stiu eu. Una dintre ele se afla in cartea Probleme de Analiza Matematica-Calcul Integral, Tudorel Lupu, Ed. GIL Zalau, 1996, la pagina 114, problema 64. Cealalta demonstratie se afla in articolul lui Flett din 1958. Vezi aici: http://www.math.sc.edu/~girardi/m555/cu ... -Flett.pdf

Desi par mici leme inofensive, vreau sa spun ca s-a scris mult in ultima vreme despre aceasta teorema de medie a lui Flett si aplicatii ale ei si nu ma refer la probleme de olimpiada ci la articole de cercetare. Poti sa cauti pe google: "Flett's mean value theorem and applications". Anul trecut am scris si eu un articol despre diverse aplicatii ale unor teoreme de medie la unii operatori integrali. Vezi aici: http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2009/117/lupu.pdf

Pe de alta parte, relatia \( \int_0^1\left(\int_0^xf(t)dt\right)dx=0 \) poate fi dedusa plecand de la ipoteza folosind integrarea prin parti.