Danutz, este destul de usor sa arati ca
\( \sqrt{d} \) este numar irational. Se face prin reducere la absurd destul de repede. O poti face si tu. Gandeste-te cum arati ca
\( \sqrt{2} \) este numar irational si adaptezi demonstratia pentru
\( d \) liber de patrate. Acum sa ne ocupam de partea un pic mai "grea" ca sa zicem asa a problemei noastre. Evident ca vom folosi faptul ca
\( \sqrt{d} \) este numar irational. Intr-adevar, egalitatea data mai poate fi scrisa si sub forma
\( (a-c)+(b-p)\sqrt{d}=0 \). Acum ti-as putea da un argument rapid de ce ar rezulta ca
\( a=c \) si
\( b=p \). Pe scurt cum
\( a-c \) si
\( b-p \) sunt numere rationale, iar
\( 1, \sqrt{2} \) sunt liniar independente peste
\( \mathbb{Q} \) ar rezulta rapid ca
\( a-c=0 \) si ca
\( b-p=0 \). Insa, as vrea s-o facem la nivel de clasa 9-a.
Bon, deci revenind, avem ca
\( (a-c)+(b-p)\sqrt{d}=0 \). Notam
\( a-c=x\in\mathbb{Q} \) si
\( b-p=y\in\mathbb{Q} \). Deci, relatia noastra se traduce prin
\( x+y\sqrt{d}=0 \) care este echivalenta cu
\( x=-y\sqrt{d} \). Daca, presupunem prin reducere la absurd, ca
\( x\neq 0 \) atunci prin impartire cu
\( x \) vom avea
\( \frac{\sqrt{d}}{d}=\frac{-y}{x} \). Acest lucru reprezinta, insa o contradictie pentru ca membrul din stanga
este numar irational, iar membrul din dreapta este numar rational. Prin urmare,
\( x=0 \) si inlocuind vom avea
\( y\sqrt{d}=0 \) de unde avem ca si
\( y=0 \). Acum problema este clara din moment ce
\( x=a-c \) si
\( y=b-p \).