mateforum.ro

\( 1. \) Sa se determine functiile \( f: \mathbb R\rightarrow \mathbb R
\) care verifica ecuatia functionala:
\( f(x^3+y)=f(x)+f(y^3) \), pt oricare \( x,y \) reale.

\( 2. \) Sa se arate ca daca \( a,b ,c \in[0; 1] \) atunci:

\( \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}+abc\le\frac{5}{2} \)

\( 3. \) Pe laturile \( AB, AC, BC \)ale triunghiului ascutitunghic \( ABC \) se considera punctele \( M, N, A_1 \) astfel ca triunghiul \( MA_1C \) sa fie dreptunghic isoscel cu ipotenuza \( MN \)paralela cu \( BC \). Analog se definesc punctele \( B_1 \) pe \( AC \) si \( C_1 \) pe \( AB \).
Sa se arate ca dreptele \( AA_1, BB_1, CC_1 \) sunt concurente.

\( 4. \) Fie \( (d) \) o dreapta si \( M \in(d \)) o multime nevida de puncte care admite doua puncte
de simetrie: \( A;B \in(d) \).
a) Sa se arate ca multimea \( M \) este infinita.
b) Sa se arate ca exista o diviziune echidistanta a dreptei \( (d) \) pentru care fiecare nod este un punct de simetrie pentru multimea \( M. \)

Problema 1)
pentru x=y=0 obtinem f(0)=0
pentru x=0 obtinem \( f(x^3)=f(x), \ \forall x \in \mathbb{R} \).
pentru \( x=\sqrt[3]{x} \Rightarrow f(x+y)=f(\sqrt[3]{x})+f(y)=f(x)+f(y),\ \forall x,y \in \mathbb{R} \). Deci \( f \) e functie impara, si astfel \( f(x^3-x)=f(x)+f(-x)=0, \ \forall x,y \in \mathbb{R} \). Dar \( \mathbb{R}=\{y=x^3-x,\ x \in \mathbb{R}\} \).
Deci functia e constanta 0.


La problema 3 se exprima raportul \( \frac{BA_1}{CA_1} \) in functie de unghiurile triunghiului si analoagele si se aplica teorema lui Ceva.

La punctul 4 a) Daca multimea este finita si A este in stanga lui B pe dreapta, atunci exista elementul cel mai din stanga. Daca il simetrizam fata de B si rezultatul fata de A, atunci obtinem alt element mai in stanga. Contradictie. Deci multimea este infinita.
b) Se considera diviziunea care contine pe A, B si in care doua puncte consecutive sunt la distanta AB

Problema 2.
Vezi aici.