mateforum.ro

Fie multimea \( A= \){\( x\in \mathb{Q}|x=\frac{n^2+1}{2n^2+n+1} \) , unde \( n=\overline{1,100} \)}. Se cere cardinalul multimii A.

Notam \( a_n=\frac{n^2+1}{2{n^2}+2n+1},\ n=1,2,...,100. \)
Trebuie sa cercetam daca termenii acestui sir se repeta.
Daca doi termeni sunt egali, adica \( a_m=a_n \) (pp f.r.gen. ca \( m<n \)) dupa calcule obtinem \( (m-n)(m+n+1-mn)=0 \).
De aici \( mn=m+n+1 \). Din ultima egalitate se arata usor ca nu putem avea decat \( m=2,\ n=3 \). In concluzie doar \( a_2 \) si \( a_3 \) sunt egale, deci multimea are 99 elemente distincte.

Pai si cum arat acolo ca daca mn=m+n+1, atunci m=2, n=3 ?

\( mn=m+n+1 \)
\( mn-m-n=1 \)
\( mn-m-n+1=2 \)
\( (m-1)(n-1)=2 \)

\( m-1 \) si \( n-1 \) sunt numere naturale, iar \( 2 \) se poate scrie ca produs de numere naturale in numai doua moduri: \( 1\cdot 2 \) si \( 2\cdot 1 \). Se obtin doua sisteme cu necunoscutele \( m \) si \( n \). Avem \( m=2 \) si \( n=3 \) sau invers.

Altfel: il scoti pe \( m \) in functie de \( n \) si pui conditia ca fractia obtinuta sa fie numar natural.

Altfel: imparti prin \( mn \) ambii membri, obtinand o suma de trei fractii care da 1. Cel putin una dintre cele 3 fractii trebuie sa aiba numitorul mai mic sau egal cu 3 (altfel suma ar fi < 1). Rezulta ca (cel putin) unul dintre numerele m si n trebuie sa fie mai mic sau egal cu 3. Luam pe rand m=1, m=2, m=3 si-l calculam pe n.

In cazul nostru prima solutie e cea mai simpla, dar sunt situatii in care merg mai bine celelalte.