mateforum.ro

Tulcea Etapa judeteana
1.Comparati numerele:
\( \frac{27^5}{4^{11}}si\frac{2^{23}}{9^8} \)
mai sunt inca 2 dar acum trebuie sa plec la scoala . Le postez dup-aia.
Gata. Am venit.
2.Sa se arate ca numarul \( 8+8^2+8^3+...+8^{888} \) se divide cu 73.
(mai erau niste probleme de genul asta, vedeti mai jos la celelatlt topic-uri ) .
3.Intr-o cutie sunt de 5 ori mai multe bile rosii decat bile albe. Daca se adauga 6 bile albe si se iau 18 bile rosii in cutie raman de doua ori mai multe bile rosii. Cate bile albe si cate rosii au fost initaial in cutie?

1)\( 27^5=(3^3)^5=3^{15} \)
\( 4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22} \)
\( 9^8=3^{16} \)
\( \Rightarrow \frac{3^{15}}{2^{22}} \) si \( \frac{2^{23}}{3^{16}} \)
\( 9^7>8^7 \Rightarrow (3^2)^7>(2^3)^7 \Rightarrow 3^{14}>2^{21}/\cdot2 \)
\( \Rightarrow 3^{14}\cdot2>2^{22} \) , dar \( 3^{14}\cdot2<3^{14}\cdot3=3^{15} \)
\( \Rightarrow 3^{15}>2^{22} \) , deci prima fractie e supraunitara . \( 3^{15}>2^{22}/\cdot2 \Rightarrow 3^{15}\cdot2>2^{23} \Rightarrow 3^{16}>2^{23} \) , deci a doua fractie e subunitara .
2)\( 8+8^2+8^3+...+8^{888}=8(1+8+8^2)+8^4(1+8+8^2)+...+8^{886}(1+8+8^2)=73(8+8^4+...+8^{886}) \)
3)\( x \)-numarul de bile rosii
\( y \)-numarul de bile albe
\( x=5y \)
\( (y+6)\cdot2=x-18 \)
\( \Rightarrow x=50 , y=10 \)

N-am verificat, dar cred ca e bine...