Consider o inversiune de centru
\( X \) si putere oarecare. Notam cu
\( ^\prime \) transformatele prin inversiune.
Atunci
\( \gamma_1\prime , \gamma_2\prime \) sunt doua drepte perpendiculare pe diametrele care trec prin
\( X \) ale cercurilor initiale. Cele doua drepte se intersecteaza in
\( Y\prime \). Dreapta
\( AB \) se transforma in cercul
\( (A\prime B\prime Y\prime) \) care trece prin
\( X \). Daca notam cu
\( t \) tangenta comuna a cercurilor initiale cea mai apropiata de
\( Y \) si cu
\( S,T \) punctele de tangenta, atunci
\( t\prime \) este un cerc care trece prin
\( X \), este tangent in
\( X \) la cercul
\( A\prime B\prime Y\prime \) (pentru ca
\( AB || t \) ) si este tangent la
\( \gamma_1\prime, \gamma_2\prime \) respectiv in
\( S\prime, T\prime \). Mai mult,
\( XS\prime,\ XT\prime \) sunt bisectoarele unghiurilor
\( \angle Y^\prime XB^\prime,\ Y^\prime XC\prime \), respectiv (1). Cercul de centru
\( O \) se transforma in cercul inscris in triunghiul
\( A^\prime B^\prime Y^\prime \).
Se obtine configuratia din figura. Cercul
\( t^\prime \) este tangent laturilor triunghiului si cercului circumscris. Dintr-o
problema cunoscuta (nu prea simpla...) se deduce ca
\( O^\prime \in S^\prime T^\prime \) si este chiar mijlocul sau.
Mai departe deoarece
\( Y^\prime \) este intersectia tangentelor la cercul circumscris triunghiului
\( XT^\prime S^\prime \) rezulta ca
\( XY^\prime \) este simediana lui
\( X \) in acest triunghi. Din acest fapt si (1) rezulta ca
\( XO^\prime \) este bisectoarea unghiului
\( \angle A^\prime X B^\prime \), adica
\( OX \) este bisectoarea unghiului
\( \angle AXB \).
Probabil ca nu este cea mai scurta solutie (am muncit 1 ora jumate la ea...), dar e destul de natural sa consideri o inversiune cand sunt asa de multe cercuri pe-acolo...
