mateforum.ro

Regulamentul maratonului

1. Primul participant (adica eu ) propune o problema.

2. Cine o rezolva, are voie (si trebuie) sa propuna inca una. Cine o rezolva pe a doua, are voie (si trebuie) sa propuna inca una, si tot asa... Prin urmare, nu ai voie sa propui o problema decat daca o rezolvi pe cea dinainte!

3. Problemele trebuie sa se incadreze in urmatoarele capitole:
- metode de rezolvare a problemelor de aritmetica (figurativa, algebrica, a drumului invers, a falsei ipoteze etc);
- teorema impartirii cu rest;
- puteri;
- baze de numeratie;
- divizibilitate;
- numere pare, impare;
- multimi;
- fractii (numai ce s-a invatat in clasa a IV-a).

4. Nivelul problemelor trebuie sa fie mediu, adica nici foarte usoare, nici grele, ca sa nu se blocheze maratonul. Asta nu inseamna ca toate problemele trebuie sa fie la fel de usoare. Pot fi de la "aproape usoare" la "aproape grele".

5. Maratonul se opreste cand s-a ajuns la 100 de probleme. Castiga cine a rezolvat mai multe probleme. Se acorda si premiile 2, 3 etc.

6. Se acorda un premiu special pentru rezolvari deosebite.

7. Au voie sa participe, cu sanse de castig, numai elevi de clasa a V-a si a VI-a . Ceilalti pot interveni cand sesizeaza erori sau cand vad ca nimeni nu reuseste sa rezolve o problema, dar nu pot lua premii.

8. In calitate de initiator al maratonului, imi rezerv dreptul de a elimina din concurs problemele care nu respecta conditiile de mai sus. Ele vor ramane pe topic, dar nu vor fi socotite printre cele 100.

Prima problema

Un tata are 41 de ani, iar cei patru copii ai sai au 8, 4, 6 si 2 ani. Dupa cati ani tatal va avea varsta egala cu suma varstelor copiilor sai?

x= peste cati ani tatal va avea varsta egala cu suma varstelor copiilor sai

41+x=8+x+6+x+4+x+2+x
41=8+x+6+x+4+x+2
41=20+3x
3x=21
x=7

Raspuns: peste 7 ani.


Problema 2

Sa se afle multimea cifrelor cu care se poate termina numarul \( 2a^4 \), daca a este numar natural.

E cam usoara, da' daca o dau grea si n-o face nimeni se inchide maratonul...

Nu-i bine s-o dai prea grea, dar daca totusi o dai, maratonul nu se inchide, fiindca scot eu problema din concurs si te pun sa dai alta problema mai usoara.

In problema propusa de tine e vorba de ultima cifra. Se putea formula mai clar asa:

Care poate fi ultima cifra a lui \( 2a^4 \)?

Asta ca sa nu creada cineva ca se cer mai multe cifre de la sfarsitul numarului.

1. 2a = un numar par => 2a = 2 , 4 , 6 , 8

Acum luam pe cazuri.


Daca 2a = 2 => \( 2^4 = 16 \) => ultima cifra poate fi 6 .
Daca 2a = 4 => \( 4^4= 256 \) => ultima cifra e tot 6 .
Daca 2a = 6 => \( 6^4 = \overline{.......6} \)=> ultima cifra este iar 6.
Daca 2a = 8 => \( 8^4 = {(2^3)}^4 = 2^{12} \)=> ultima cifra este iar 6.


Raspuns : Ultima cifra a numarului \( {2a}^4 \)este mereu 6


Pot propune?

Nu cred ... ce-ar fi sa iei a=10 ; nu cred ca ultima cifra mai e 6 ... , mai gandeste-te . Nu cred ca ai inteles problema .

Eu m-am ganit doar la cifre ... ma rog . sa vad ce pot sa mai adaug

In fine cifre ... , atunci ia a=5 ...

Data trecuta m-am gandit doar la cifre , sorry. Adica , aproape mereu , exceptie fiind cazul in care ultima cifra este 0... atunci si ultima cifra a ridicarii la a patra este 0

Daca 2a = 10 => \( 10^4 \) = ultima cifra 0
Daca 2a= 12 => \( 12^4 \) = ultima cifra e 6 si tot asa , la 20 este iar 0 ....la toate numerele ...pot sa fie si 566984893907738766 , ca ridicarea la a patra se face cu ultima cifra a lui 566984893907738766 , adica 6 la a patra si ultima cifra-i tot 6


Obs... Cand am zis atunci ca 2a = 2 , 4, 6, 8 ma refeream la ultima cifra a produsului

Nu , alex , nu ma gandeam la a. ma gandeam la ultima cifra a produsului 2 x a , adica 0 , 2, 4, 6, 8...

Acum pot ?

Miruna , eu cred ca acolo nu e \( (2a)^4 \) , ci e \( 2\cdot{a^4} \) . Daca ultima cifra a lui \( 2a^4 \) este 6 , atunci ultima cifra a lui \( a^4 \) este 3 sau 8 , dar \( a^4=(a^2)^2 \) , deci e patrat perfect , iar ultima cifra a unui patrat perfect nu poate fi 3 sau 8 , deci contradictie !

Miruna, dar nu este vorba acolo de 2a ! Ordinea operatiilor este alta. Intai trrebuie calculat \( a^4 \) si de-abia dupa aceea inmultit cu 2. Daca te intereseaza numai ultima cifra, trebuie respectata aceeasi ordine.

Ha ! Am scris deodata cu tine, Alex .

Reload

Gata am inteles scuze o refac :


a poate fi 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 .

Daca a = 1 => \( 1^4 = 1 => 2 \cdot 1 = 2 \)
Daca a = 2 => \( 2^4 = 16 => 2 \cdot 16 = 32 \) , ultima cifra e 2
Daca a = 3 => \( 3^4 = 81 => 2 \cdot 81 = 162 \) , ultima cifra e 2
Daca a = 4 => \( 4^4 = 256 => 2 \cdot 256 = 512 \) , ultima cifra e 2
Daca a = 5 = > \( 5^4 = 625 => 2 \cdot 625 = 1250 \) , ultima cifra e 0
Daca a = 6 => \( 6^4= 1296 => 2 \cdot 1296 = 2592 \) , ultima cifra e 2
Daca a = 7 => \( 7^ 4 = 2401 => 2 \cdot 2401 = 4802 \) , ultima cifra e 2
Daca a = 8 => \( 8^4 = 4086 => 2 \cdot 4096 = 8192 \) , ultima cifra e 2
Daca a = 9 => \( 9^4 = 6561 => 2 \cdot 6561 = 13122 \) , ultima cifra e 2
Daca a = 0 = > \( 0^4 = 0 => 2 \cdot 0 = 0 \), cifra e 0

Si asa mai departe pentru numerele de doua sau mai multe cifre , cand ultima cifra este 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9 .


acum pot ?

Poti, dar exista o rezolvare mai concisa, cu mai putine calcule si cazuri.

Exista o formula generala?

Doamna profesoara , cred vreti sa spuneti ca plecam direct de la ultima cifra a lui \( a^2 \) (0,1,4,5,6,9) si apoi ridicam la patrat . Intr-adevar e mai scurta rezolvarea asa .