mateforum.ro

Sa se arate ca nu exista functii \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) cu proprietatea ca \( |f(x)-f(y)|>1, \forall x, y\in\mathbb{R} \) cu \( x\neq y \).

Evident, f e injectiva, deci imaginea e de puterea continuului. Fiecarui punct \( (x,f(x)) \) ii asociez un disc deschis de raza \( \frac{1}{2} \). Din ipoteza rezulta ca nu exista doua puncte in acelasi disc, deci imaginea e echipotenta cu numarul discurilor, care e evident numarabil. Absurd.

Problema asta a fost data la gazeta in 2005 cu diferenta ca in loc de 1 era |x-y| si ideea de rezolvare e aceeasi (cred).