mateforum.ro

Fie \( z_1,z_2,z_3\in\mathcal C^* \) distincte astfel incat \( \left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right| \).Sa se calculeze:min\( \left {\sum (\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1})\right} \)

\( \frac {z_1} {z_2} + \frac {z_2} {z_1}=\frac {z_1\bar{z_2}} {r^2}+\frac {z_2\bar{z_1}} {r^2}=\frac {2a_1a_2+2b_1b_2} {r^2}. \)
\( a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=r^2 \)
\( (a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2\ge0 \) Rezulta ca \( 2r^2+2a_1a_2+2b_1b_2\ge0 \) sau \( 2a_1a_2+2b_1b_2\ge-2r^2 \)
Astfel \( \frac {z_1} {z_2} + \frac {z_2} {z_1}\ge-2 \).
Procedand analog si pentru celelalte cazuri rezulta
\( \sum(\frac {z_1} {z_2} + \frac {z_2} {z_1})\ge-6 \)
Am impresia ca inegalitatea este stricta. Nu poate avea loc cazul de egalitate pentru ca \( z_1,z_2,z_3 \) trebuie sa fie distincte.

Poti sa-mi dai un exemplu de numere \( z_1,z_2,z_3 \) astfel incat
\( \sum (\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1})\in (-6,-3) \)
multumesc

Din ce vad si eu, tot \( -3 \) obtin. Poate am gresit pe undeva.

Fie \( |z_{k}|=R \), \( k=\overline{1,3} \), si, pentru o scriere mai usoara, facem substitutiile: \( y_{k}= \frac{R}{z_{k}} \), \( k=\overline{1,3} \).

Astfel, \( |y_{1}|=|y_{2}|=|y_{3}|=1 \), iar problema se rescrie in a calcula minimul sumei:
\( \sum{\left(y_{1}\overline{y_{2}}+\overline{y_{1}}y_{2}\right)}=\sum{\left(|y_{1}|^{2}+|y_{2}|^{2}-|y_{1}-y_{2}|^{2}\right)}=6-(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \), unde \( a \), \( b \), \( c \) sunt laturile triunghiului cu raza cercului circumscris \( 1 \).

Cum insa \( a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 9R^{2}=9 \), deducem deci ca minimul sumei cerute este \( -3 \).

Dupa cum este pusa intrebarea, ma gandesc ca se poate demonstra ca min=-3. Poate ma insel... dar nu vad de ce ar trebui sa dau un exemplu de numere din intervalul acela.

Asta si vroiam sa subliniez, ca minimul sumei e \( -3 \).Te-am intrebat daca poti sa gasesti o valoare a sumei din intervalul ala,ca sa vezi ca nu exista.Motivul pentru care am pus \( z_1,z_2,z_3 \) distincte ,este sa nu atinga suma respectiva valoarea \( -6 \), si sa ateste existenta unui triunghi de afixe \( z_1,z_2,z_3 \)
Am aceeasi solutie ca solutia lui Cosmin.Mersi