mateforum.ro

Fie \( a,b,c\in\mathbb{R}^*. \) Stiind ca \( abc(a^3+b^3+c^3)<\sum_{cyc}a^3b^3 \) aratati ca exact doua dintre ecuatiile\( ax^2+2bx+c=0;bx^2+2cx+a=0;cx^2+2ax+b=0 \) au solutii reale.

Cred ca ai o greseala in enunt. In loc de\( 2b \) trebuia \( 2bx \) si la fel pentru \( 2c \) si \( 2a \).

gata

Ma rog, sa nu ramana problema nerezolvata
Obtinem \( \Delta_1=4(b^2-ac) , \Delta_2=4(c^2-ab) , \Delta_3=4(a^2-bc) \)
Inmultindu-le obtinem \( (b^2-ac)(c^2-ab)(a^2-bc)=abc(a+b+c)-a^3b^3-b^3c^3-c^3a^3<0\Rightarrow \) toti 3 discriminantii sunt negativi sau numai unul.
Daca sunt toti 3 relatia e echivalenta cu \( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca<0 \)(contradictie)\( \Rightarrow \) un discriminant negativ, deci exact doua ecuatii cu solutii reale.[/tex][/code]