mateforum.ro

Sa se determine functia de doua ori derivabila \( f:\mathbb{R}\to [0, \infty) \) astfel incat sa avem

\( f^{\prime}^{\prime}(x)+f(x)\leq 2f^{\prime}(x), \forall x\in\mathbb{R} \).

Folosim propozitia:

,,Daca \( f:\mathb{R}\rightarrow\mathb{R} \) este o functie convexa (concava) neconstanta, atunci f este nemarginita superior (inferior).''

In cazul nostru functia \( g:\mathb{R}\rightarrow [0,\infty) \) \( g(x)=\frac{f(x)}{e^x} \) este concava si marginita inferior, deci e constanta.

Asadar functiile cautate sunt \( f(x)=k\cdot e^x \) unde \( k\le 0 \).